PyMCを用いたベイズ推論
PyMCは、Pythonでベイズ推論を実装するための強力かつ柔軟なライブラリです。確率的プログラミング言語（PPL）の一種であり、モデルを定義し、MCMC（マルコフ連鎖モンテカルロ）サンプリングなどのアルゴリズムを用いて事後分布を近似計算します。
ベイズ推論の基本概念
ベイズ推論は、「事前確率」と「尤度」を組み合わせて、観測データに基づいて「事後確率」を更新する手法です。
事前確率
モデルのパラメータに関する、データ観測前の信念を表します。PyMCでは、`pm.Normal()`, `pm.Beta()`, `pm.Uniform()` などの確率分布オブジェクトとして表現されます。
尤度
観測データが、あるパラメータ値のもとで生成される確率を表します。これもPyMCでは、`pm.Normal()`, `pm.Poisson()`, `pm.Binomial()` などの確率分布オブジェクトとして表現されます。
事後確率
事前確率と尤度を組み合わせ、観測データによって更新されたパラメータに関する信念を表します。ベイズ推論の目標は、この事後確率を計算または近似することです。
PyMCでのモデル構築
PyMCでは、`with pm.Model() as model:` というコンテキストマネージャーを用いてモデルを定義します。
確率変数（Prior）の定義
モデルのパラメータとなる確率変数を定義します。
import pymc as pm
import numpy as np
with pm.Model() as model:
# 事前分布の設定
mu = pm.Normal('mu', mu=0, sigma=1) # 平均 mu の事前分布
sigma = pm.HalfNormal('sigma', sigma=1) # 標準偏差 sigma の事前分布
観測モデル（Likelihood）の定義
観測データが従う確率分布を、定義した確率変数を用いて記述します。
# 観測データの生成（例）
observed_data = np.array([1.2, 1.5, 1.0, 1.3, 1.1])
# 尤度関数の設定
y = pm.Normal('y', mu=mu, sigma=sigma, observed=observed_data)
この例では、観測データ `observed_data` は、平均 `mu` と標準偏差 `sigma` を持つ正規分布から生成されたと仮定しています。
推論の実行（サンプリング）
モデル定義後、`pm.sample()` 関数を用いてMCMCサンプリングを実行し、事後分布からのサンプルを取得します。
with model:
# MCMCサンプリングの実行
trace = pm.sample(draws=2000, tune=1000, cores=1) # draws: サンプル数, tune: バーンイン期間
`draws` は、事後分布から取得するサンプル数です。`tune` は、サンプリング開始前のバーンイン期間で、この期間のサンプルは事後分布に収束していないとみなされ、破棄されます。`cores` は、並列計算に使用するCPUコア数です。
結果の分析
サンプリングによって得られた `trace` オブジェクトには、各確率変数の事後分布からのサンプルが含まれています。これを用いて、平均、中央値、信用区間などを計算し、モデルの解釈を行います。
事後統計量の計算
PyMCは、`arviz` ライブラリと連携して、多様な事後統計量を提供します。
import arviz as az # 事後分布の要約統計量の表示 az.summary(trace)
事後分布の可視化
`arviz` を用いることで、事後分布のヒストグラムや、確率変数間の関係を示す散布図などを描画できます。
# 事後分布のプロット az.plot_trace(trace) #plt.show() # Jupyter Notebookなどでは不要な場合もあります # 各種プロット（例：分布プロット） az.plot_posterior(trace) #plt.show()
PyMCの応用例
PyMCは、様々な分野で応用されています。
統計モデリング
回帰分析、時系列分析、階層モデルなど、複雑な統計モデルの構築と推論が可能です。
機械学習
ベイズ的アプローチによるモデルの不確実性評価、異常検知、モデル選択などに利用できます。
科学研究
生物学、物理学、社会科学など、多くの研究分野で、データに基づいたモデルの構築と検証に用いられています。
高度なトピック
PyMCは、より高度な推論手法やモデル構築機能も提供しています。
階層モデル（Hierarchical Models）
グループ間の共通性を考慮したモデルで、データが少ないグループでもより良い推論が可能になります。
モデル診断（Model Diagnostics）
サンプリングが適切に行われたか、モデルがデータによく適合しているかなどを評価するためのツールが提供されています。
カスタム確率分布
既存の分布で表現できないような、独自の確率分布を定義してモデルに組み込むことができます。
変分推論（Variational Inference）
MCMCよりも高速な近似推論手法である変分推論もサポートしています。
まとめ
PyMCは、ベイズ推論をPythonで実行するための包括的なフレームワークです。直感的で柔軟なモデル構築機能、強力なMCMCサンプラー、そして詳細な結果分析ツールを提供し、多様な分野の研究者や開発者にとって不可欠なライブラリとなっています。ベイズ的アプローチによる不確実性の定量化や、より柔軟なモデル設計を求める場合に、PyMCは強力な選択肢となります。
